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Nuevas familias de procesos puntuales espacio-temporales con intensidades procedentes de campos aleatorios

Nuevas familias de procesos puntuales espacio-temporales con intensidades procedentes de campos aleatorios
Área de investigación: Imagen y Modelado Matemático
Estado: En progreso
Líderes del proyecto:
Inicio propuesto: 01/01/2015
Límite propuesto: 31/12/2017
Financiado por: Ministerio de Ciencia e Innovación
Descripción:

Los procesos puntuales espaciales (y espacio-temporales) y sus características son ampliamente utilizados en el análisis estadístico de colecciones de localizaciones (y tiempos) en regiones del plano. En paralelo, la estructura de covarianza de campos aleatorios contínuos viene analizada por la rama de la geoestadística.

Basados en funciones de intensidad matemáticamente intratables, los procesos de Gibbs no son adecuados para modelar situaciones de inhomogeneidad, y en su lugar los procesos de Cox tratan dicha inhomogeneidad de forma natural. Los procesos de Cox log-Gaussianos representan una clase muy flexible de procesos estocásticos. Esta flexibilidad, combinada con su facilidad en el tratamiento matemático, hacen de estos procesos unos modelos atractivos para modelar una amplia variedad de inhomogeneidad a través de la intensidad espacial de primer orden. Intensidad que viene definida a partir de un campo aleatorio Gaussiano latente, y es la estructura de covarianza de este campo quien describe la dependencia espacial entre las localizaciones. Sin embargo, estos procesos de Cox log-Gaussianos no pueden modelar situaciones de agregación tipo modelos de cluster Poisson, como si lo hacen los procesos de Cox shot-noise. Estos procesos proporcionan una mejor interpretación del mecanismo de clustering que los procesos log-Gaussianos. De nuevo, la familia de procesos shot-noise depende de funciones de pair-correlation un tanto restrictivas.

Si además consideramos el caso de modelos multivariantes de Cox, sólo se han propuesto algunas familias bivariantes definidas a través de intensidades aleatorias proporcionales.

En este proyecto definimos clases de procesos de Cox log-Gaussianos y shot-noise más flexibles y generales que los ya existentes modelando la intensidad aleatoria a través de campos shot-noise y campos producto basados en convoluciones de funciones kernel. La estructura de correlación subyacente es modelada convenientemente por medio de estos campos y funciones kernel, y está relacionada directamente con la función pair-correlation del proceso puntual de Cox. Por tanto definiendo nuevas clases flexibles de kernels, tendremos nuevas clases flexibles de pair-correlations, y por ende de procesos de Cox. Si consideramos kernels anisotrópicos, no separables/separables, kernels espacio-temporales, kernels vectoriales formaremos nuevas familias de procesos de Cox anisotrópicas, espacio-temporales o multidimensionales.

Estos nuevos modelos necesitan de nuevas técnicas de estimación de los parámetros, ya que la máxima verosimilitud no puede trabajar con tal cantidad de parámetros correlacionados entre ellos. Construiremos pues nuevas técnicas inferenciales y determinaremos las propiedades estadísticas de los nuevos estimadores.

Finalmente, el proyecto está motivado por dos grandes problemas reales procedentes de los campos de Criminología y Epidemiología. Ambos campos proporcionan datos en forma de patrones puntuales agregados inhomogéneos y en espacio-tiempo, que requieren de estas nuevas familias de procesos de Cox. Proporcionaremosmodelos predictivos probabilísticos para la actividad criminal y para determinados problemas de salud pública. Con el análisis práctico construiremos nuestro propio software que podrá ser utilizado por las Instituciones externas (EPOs) que apoyan el proyecto.

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